Ćwiczenia 4: funkcje

Zadania

1.  Pokazać, że funkcja \(\varphi : P(A)^B \to P(A \times B)\), taka że dla dowolnego \(f : B \to  P(A)\) zachodzi
   \[ \varphi(f) = \{ \langle a, b \rangle \in A \times B \mid a \in f(b)\},\]
   jest różnowartościowa i na.
2. Zdefiniujmy funkcję \( F : (\NN \to \NN) \to (P(\NN) \to P(\NN))\) wzorem
   \[ F(f)(X) = f(X).\]
   a) Czy F jest na?
   b) Czy F jest różnowartościowa?
3. Znaleźć przykład takiej funkcji \(f: \NN\to\NN\), że przeciwobraz każdego zbioru jednoelementowego jest
   a) jednoelementowy,
   b) dwuelementowy,
   c) nieskończony.
4. Funkcję \(F : (\NN \to P(\NN)) \to P(\NN)\) jest określona warunkiem
   \[ F(x) = \bigcup \{x(i) \mid i \in \NN\}.\]
   a) Czy F jest różnowartościowa?
   b) Czy F jest na \(P(\NN)\)?
   c) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest jednoelementowy?
   d) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest czteroelementowy?

Praca domowa

Zadanie 137 i zadanie 147.

Ćwiczenia 3: iloczyn kartezjański, funkcje

Zadania

1.  Kiedy \(A \times B = B \times A\)?
2. Czy dla dowolnych niepustych rodzin \(\mathcal{A}\) i \(\mathcal{B}\) zachodzi:
   a) \(\bigcap \mathcal{A} \times  \bigcap \mathcal{B} = \bigcap \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in  \mathcal{A}, \beta \in  \mathcal{B}\}\),
   b) \(\bigcup \mathcal{A} \times  \bigcup \mathcal{B} = \bigcup \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in  \mathcal{A}, \beta \in  \mathcal{B}\}\)?
3. Ile jest funkcji, funkcji częściowych, funkcji różnowartościowych, funkcji na
   a) \(\emptyset \to \emptyset\),
   b) \(\emptyset \to \{ \cdot \}\),
   c) \(\{ \cdot \}\to \emptyset\),
   d) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot \}\),
   e) \(\{ \cdot, \square \}\to \{ \cdot \}\),
   f) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot, \square \}\)?
4. Podać przykład \(f : A \to B\), \(X \subseteq A\), \(Y \subseteq B\) takich, że
   a) \(f^{-1}(f(X)) \neq X\),
   b) \(f(f^{-1}(Y)) \neq Y\).
5. Niech \(F : \NN^{\NN} \to P(\NN)\) będzie taka, że \(F(f) = f^{-1}(\{1\})\).
   a) Czy \(F\) jest różnowartościowa?
   b) Czy \(F\) jest na \(P(\NN)\)?

Praca domowa

Zadanie 132 i zadanie 103 ze zbioru zadań.

Ćwiczenia 2: sumy uogólnione, iloczyn uogólnione

Zadania

1. Udowodnić, że \(\bigcup P(A) = A\) dla dowolnego A.
2. a) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcup \mathcal{A} \subseteq \bigcup\mathcal{B}\)?
   b) Czy jeśli \(\bigcup \mathcal{A} \subseteq \bigcup \mathcal{B}\), to \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\)?
3.  a) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{A} \subseteq \bigcap \mathcal{B}\)?
   b) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{B} \subseteq \bigcap \mathcal{A}\)?
4. Czy dla dowolnych niepustych A, B takich, że \(A \cap B \neq \emptyset\) zachodzi:
   a) \(\bigcap A \cap\bigcap B = \bigcap (A \cap B)\),
   b) \(\bigcap A \cap\bigcap B = \bigcap (A \cup B)\)?
5. Które z równości zachodzą dla dowolnego A:
   a) \(\bigcap \{P(B) \mid B \subseteq A \} = \{ \bigcap P(B) \mid B \subseteq A \} \),
   b) \(\bigcup \{P(B) \mid B \subseteq A \} = \{ \bigcup P(B) \mid B \subseteq A \} \)?
6. Znaleźć \( \bigcup_{t \in \RR_+} A_t \) i \( \bigcap_{t \in \RR_+} A_t \), gdzie \(A_t = (1-\frac{1}{t}, 2 + \sqrt{t})\) dla \(t \in \RR_+\).

Praca domowa

Zadania 34 i 38 ze zbioru zadań na stronie wykładu.

Ćwiczenia 1: rachunek zbiorów, zbiór potęgowy

Zadania

1. Przypuśćmy, że zbiór A ma n elementów, a zbiór B ma n elementów. Ile elementów mają zbiory \(A \cup B\), \(A \cap B\), \(A - B\)?
2. Czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\), \(C\) zachodzą równości:
   a) \(A - (B \cup C) = (A - B) - C\),
   b) \(A - (B - C) = (A - B) \cup C\),
   c) \((A \cup B \cup C) - (A \cup B) = C\),
   d) \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)?
3. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów w \(A\), \(B\), \(C\) zachodzi następująca implikacja:
   a) jeśli \( A - B = B - A \), to \( A = B\),
   b) jeśli \(A \cup B = C\), to \(C - B = A - B\),
   c) jeśli \(C - B \subseteq C - A\), to \(A \subseteq B\).
4. Zbadać, czy dla dowolnych \(A\), \(B\) zachodzi:
   a) \(P (A \cup B) = P(A) \cup P(B)\),
   b) \(P (A \cap B) = P(A) \cap P(B)\).
5. Która z implikacji jest prawdziwa dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\):
   \[ A \subseteq B \hbox{ wtw. } P(A) \subseteq P(B) ? \]

Praca domowa

1. Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równoważność:
   \[ A \cap B = A  \hbox{ wtw. } A \cup B \cup C = (C-A) \cup B. \]
2. Dla każdej z poniższych implikacji sprawdź, czy jest ona prawdziwa:
   a) \(A \cup B \subseteq A \cup C \to A - C \subseteq A - B\),
   b) \(A \cap B \subseteq A \cap C \to A - C \subseteq A - B\).