Ćwiczenia 13: dobre ufundowanie

Zadania

1. Czy zbiór \(\langle \NN^{*}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
2. Czy zbiór \(\langle \NN^{2}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
3. Podać trzy przykłady zbiorów dobrze ufundowanych mocy \(\aleph_{0}\) takich, że żadne dwa nie są izomorficzne.
4.  Niech \(A = \{ 3 - \frac{1}{2n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\),
   \(B = \{ \pi - \frac{2}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{4\}\),
   \(C = \{0\} \cup \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{ 2 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\).
   Rozpatrzmy zbiory A, B, C, \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Q} - \{0\}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R} - \{0\}\).
   a) Które z nich są dobrze ufundowane?
   b) Które z nich są izomorficzne?
5. (do dokończenia) Niech \(\langle A, \leq\rangle\) będzie zbiorem dobrze ufundowanym. W zbiorze P(A) uporządkowanym przez porządek częściowy \( \sqsubseteq \) tak:
   \[ X \sqsubseteq Y \hbox{ wtw. } X = Y \hbox{ lub } (Y \neq \emptyset\wedge \forall x\in X\forall y\in Y x \leq y). \]
   Udowodnić, że zbiór \(\langle P(A), \sqsubseteq \rangle\) jest dobrze ufundowany.
6. (do dokończenia) Niech \(D = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}\) i niech \(C = \NN \to D\). Określamy relację równoważności \(\sim\) w zbiorze \(C\), przyjmując \(a \sim b\) wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi \(a\) i \(b\) są wzajemnie swoimi podciągami. Jakiej mocy jest zbiór ilorazowy \(C/_{\sim}\)?

Zaliczenie ćwiczeń

• Prace domowe są zaliczone od 50 punktów.  Osoby, które mają pomiędzy 40 i 50 punktów, powinny na następne ćwiczenia (25.01.2016) rozwiązać zadania dodatkowe. Jako zadanie dodatkowe należy wybrać zadania ze zbioru zadań, które nie mają w zbiorze rozwiązania i które nie były rozwiązywane na ćwiczeniach. Trzeba zrobić tyle zadań dodatkowych, ile brakuje do 50 punktów. Na przykład: osoba, która ma 45 punktów, powinna zrobić 5 zadań dodatkowych.
• Kartkówki są zaliczone od 26 punktów.
• Klasówka jest zaliczona o 15 punktów.
• Zaliczenie ćwiczeń otrzymują osoby, które zaliczą prace domowe, kartkówki i klasówkę.

Ćwiczenia 12: lemat Kuratowskiego-Zorna

Zadania

1. Niech A będzie dowolnym zbiorem i niech \(B \subseteq A \times A\). Udowodnić, że istnieje maksymalny zbiór \( C \subseteq A\) taki, że \(C \times C \subseteq A\).
2. Udowodnić, że każdy porządek częściowy można rozszerzyć do porządku liniowego.

Praca domowa - dla chętnych

Zadanie 408 ze zbioru