Ćwiczenia 13: dobre ufundowanie
Zadania
- Czy zbiór \(\langle \NN^{*}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
- Czy zbiór \(\langle \NN^{2}, \leq_{lex}\rangle\) jest dobrze ufundowany?
- Podać trzy przykłady zbiorów dobrze ufundowanych mocy \(\aleph_{0}\) takich, że żadne dwa nie są izomorficzne.
- Niech \(A = \{ 3 - \frac{1}{2n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\),
\(B = \{ \pi - \frac{2}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{4\}\),
\(C = \{0\} \cup \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\} \cup \{ 2 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}\}\).
Rozpatrzmy
zbiory A, B, C, \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\),
\(\mathbb{Q} - \{0\}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R} - \{0\}\).
a) Które z nich są dobrze ufundowane?
b) Które z
nich są izomorficzne?
- (do dokończenia) Niech \(\langle A, \leq\rangle\) będzie zbiorem dobrze ufundowanym. W zbiorze P(A) uporządkowanym przez porządek częściowy \( \sqsubseteq \) tak:
\[ X \sqsubseteq Y \hbox{ wtw. } X = Y \hbox{ lub } (Y \neq \emptyset\wedge \forall x\in X\forall y\in Y x \leq y). \]
Udowodnić, że zbiór \(\langle P(A), \sqsubseteq \rangle\) jest dobrze ufundowany.
- (do dokończenia) Niech \(D = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}\) i niech \(C = \NN \to D\). Określamy relację równoważności \(\sim\) w zbiorze \(C\), przyjmując \(a \sim b\) wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi \(a\) i \(b\) są wzajemnie swoimi podciągami. Jakiej mocy jest zbiór ilorazowy \(C/_{\sim}\)?
Zaliczenie ćwiczeń
- Prace domowe są zaliczone od 50 punktów. Osoby, które mają pomiędzy 40 i 50 punktów, powinny na następne ćwiczenia (25.01.2016) rozwiązać zadania dodatkowe. Jako zadanie dodatkowe należy wybrać zadania ze zbioru zadań, które nie mają w zbiorze rozwiązania i które nie były rozwiązywane na ćwiczeniach. Trzeba zrobić tyle zadań dodatkowych, ile brakuje do 50 punktów. Na przykład: osoba, która ma 45 punktów, powinna zrobić 5 zadań dodatkowych.
- Kartkówki są zaliczone od 26 punktów.
- Klasówka jest zaliczona o 15 punktów.
- Zaliczenie ćwiczeń otrzymują osoby, które zaliczą prace domowe, kartkówki i klasówkę.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz