Ćwiczenia 12: lemat Kuratowskiego-Zorna

Zadania

1. Niech A będzie dowolnym zbiorem i niech \(B \subseteq A \times A\). Udowodnić, że istnieje maksymalny zbiór \( C \subseteq A\) taki, że \(C \times C \subseteq A\).
2. Udowodnić, że każdy porządek częściowy można rozszerzyć do porządku liniowego.

Praca domowa - dla chętnych

Zadanie 408 ze zbioru

Ćwiczenia 7: porządki cz. 2

Zadania

1. Rozważmy częściowy porządek \(\langle A \leadsto B, \leq \rangle\), gdzie \(A \leadsto B\) to zbiór funkcji częściowych z A do B i \(f \leq g\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(a \in A\) albo \(f(a)\) jest nieokreślone, albo obie funkcje są określone i \(f(a) = g(a)\). Czy \(\langle A \leadsto B, \leq \rangle\) jest kratą zupełną?
2. Udowodnij, że \(\langle A \leadsto B, \leq \rangle\) jest częściowym porządkiem zupełnym.
3. Niech A i B będą zbiorami częściowo uporządkowanymi i niech funkcje \(f : A \to B\) i \(g : B \to A\) będą monotoniczne. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:
   a) \(\forall a \in A \forall b \in B (a \leq g(b) \leftrightarrow f(a) \leq b  )\)
   b) \(\forall a \in A (a \leq g(f(a))) \wedge \forall b \in B (f(g(b)) \leq b)\).
4. Podaj przykład takiego przekształcenia monotonicznego f w kracie \(\langle P(\mathbb{N}), \subseteq \rangle\), że kres górny zbioru \( \{ f^n(\emptyset) \mid  n \in \mathbb{N}\} \) nie jest najmniejszym punktem stałym.
   Czy można wybrać f tak, aby punkt stały f nie istniał?
5. Niech A będzie częściowym porządkiem zupełnym i niech \(f : A \to A\) będzie ciągła. Udowodnić, że jeśli \(a \leq f(a)\), to istnieje taki punkt stały b funkcji f, że \(a \leq b\).

Praca domowa

Zadania 355 i 348 (pytanie o bijekcję tylko dla chętnych).

Ćwiczenia 6: porządki cz. 1

Zadania

1.  Niech funkcja \(\varphi: P(\NN \times \NN) \to P(\NN \times \NN)\) będzie taka, że
   \[ \varphi(r) = \bigcap \{ r^n \mid n > 0 \}. \]
   Niech Z to rodzina relacji zwrotnych w \(\NN\). Znaleźć \(\varphi(Z)\).
2. (Utajnione) Zadanie z kartkówki.
3. Podać przykład zbioru częściowo uporządkowanego z dwoma elementami maksymalnymi, jednym minimalnym, bez elementu najmniejszego i z takim czteroelementowym antyłańcuchem, który jest ograniczony z góry, ale nie ma kresu górnego.
4. Rozpatrzmy częściowe uporządkowanie zbioru \(\{0,1\}^{\NN}\) takie, że
   \[ f \leq g \hbox{ wtw. }\forall x (f(x) \leq g(x)). \]
   a) Czy ten porządek jest liniowy?
   b) Czy istnieje w nim łańcuch nieskończony?
   c) Czy istnieje w nim antyłańcuch nieskończony?
   d) Czy ma element maksymalny, minimalny, najmniejszy, największy?
5. Czy zbiór \(\{01^n \mid n \in \NN\}\) ma kres górny (dolny) w zbiorze \(\{0,1\}^{\NN}\) uporządkowanym leksykograficznie?
6. Czy zbiór \(\{0^n1 \mid n \in \NN\}\) ma kres górny (dolny) w zbiorze \(\{0,1\}^{\NN}\) uporządkowanym leksykograficznie?

Warianty - do przemyślenia w domu dla chętnych

1. Zadanie 1 dla rodziny relacji przechodnich, symetrycznych, antysymetrycznych, ...
2. Zadanie 1: znaleźć \(\varphi^{-1}(Z)\).
3. Zadanie 4: jaki dostaniemy porządek, gdy utożsamimy ciągi zerojedynkowe z funkcjami charakterystycznymi podzbiorów liczb naturalnych?

Praca domowa

Zadania 351 i 353.