Ćwiczenia 4: funkcje

Zadania

1.  Pokazać, że funkcja \(\varphi : P(A)^B \to P(A \times B)\), taka że dla dowolnego \(f : B \to  P(A)\) zachodzi
   \[ \varphi(f) = \{ \langle a, b \rangle \in A \times B \mid a \in f(b)\},\]
   jest różnowartościowa i na.
2. Zdefiniujmy funkcję \( F : (\NN \to \NN) \to (P(\NN) \to P(\NN))\) wzorem
   \[ F(f)(X) = f(X).\]
   a) Czy F jest na?
   b) Czy F jest różnowartościowa?
3. Znaleźć przykład takiej funkcji \(f: \NN\to\NN\), że przeciwobraz każdego zbioru jednoelementowego jest
   a) jednoelementowy,
   b) dwuelementowy,
   c) nieskończony.
4. Funkcję \(F : (\NN \to P(\NN)) \to P(\NN)\) jest określona warunkiem
   \[ F(x) = \bigcup \{x(i) \mid i \in \NN\}.\]
   a) Czy F jest różnowartościowa?
   b) Czy F jest na \(P(\NN)\)?
   c) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest jednoelementowy?
   d) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest czteroelementowy?

Praca domowa

Zadanie 137 i zadanie 147.

Ćwiczenia 3: iloczyn kartezjański, funkcje

Zadania

1.  Kiedy \(A \times B = B \times A\)?
2. Czy dla dowolnych niepustych rodzin \(\mathcal{A}\) i \(\mathcal{B}\) zachodzi:
   a) \(\bigcap \mathcal{A} \times  \bigcap \mathcal{B} = \bigcap \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in  \mathcal{A}, \beta \in  \mathcal{B}\}\),
   b) \(\bigcup \mathcal{A} \times  \bigcup \mathcal{B} = \bigcup \{ \alpha \times \beta \mid \alpha \in  \mathcal{A}, \beta \in  \mathcal{B}\}\)?
3. Ile jest funkcji, funkcji częściowych, funkcji różnowartościowych, funkcji na
   a) \(\emptyset \to \emptyset\),
   b) \(\emptyset \to \{ \cdot \}\),
   c) \(\{ \cdot \}\to \emptyset\),
   d) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot \}\),
   e) \(\{ \cdot, \square \}\to \{ \cdot \}\),
   f) \(\{ \cdot \}\to \{ \cdot, \square \}\)?
4. Podać przykład \(f : A \to B\), \(X \subseteq A\), \(Y \subseteq B\) takich, że
   a) \(f^{-1}(f(X)) \neq X\),
   b) \(f(f^{-1}(Y)) \neq Y\).
5. Niech \(F : \NN^{\NN} \to P(\NN)\) będzie taka, że \(F(f) = f^{-1}(\{1\})\).
   a) Czy \(F\) jest różnowartościowa?
   b) Czy \(F\) jest na \(P(\NN)\)?

Praca domowa

Zadanie 132 i zadanie 103 ze zbioru zadań.