Ćwiczenia 11: relacje i równoważności i moce

Zadania

1. W zbiorze \(\RR[x]\) wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych określmy relację równoważności:
   \[ f r g \hbox{ wtw. } f - g \hbox{ jest funkcją liniową.} \]
   Znaleźć moc zbioru ilorazowego i moc każdej klasy abstrakcji.
2. Pokazać, że jeśli moc A jest równa \(\mathfrak{m}\) oraz \(0 \neq \mathfrak{n} \leq \mathfrak{m}\), to istnieje relacja równoważności w A spełniająca warunek \(| A_{/r}| = \mathfrak{n}\).
3. Znaleźć moc zbioru funkcji ciągłych \(\RR \to \RR\).
4. Znaleźć moc zbioru Cantora.
5. Niech \(\sim\) będzie relacją równoważności w \(\NN^{\NN}\) określoną następująco:
   \[ f \sim g \hbox{ wtw. } |f(n) - g(n)| \hbox{ jest różnowartościowa.} \]
   Jaka jest moc zbioru ilorazowego?
6. Znaleźć moc zbioru wszystkich funkcji wyboru dla \(P(\NN) - \{\emptyset\}\).

Praca domowa

Zadania 269 i 305.
Zadanie do przemyślenia pod choinką: Udowodnić, że każdy porządek częściowy można rozszerzyć do porządku liniowego.