Zadania
- Rozważmy częściowy porządek \(\langle A \leadsto B, \leq \rangle\),
gdzie \(A \leadsto B\) to zbiór funkcji częściowych z A do B i \(f \leq
g\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(a \in A\) albo \(f(a)\)
jest nieokreślone, albo obie funkcje są określone i \(f(a) = g(a)\). Czy
\(\langle A \leadsto B, \leq \rangle\) jest kratą zupełną?
- Udowodnij, że \(\langle A \leadsto B, \leq \rangle\) jest częściowym porządkiem zupełnym.
- Niech A i B będą zbiorami częściowo uporządkowanymi i niech funkcje
\(f : A \to B\) i \(g : B \to A\) będą monotoniczne. Udowodnić, że
następujące warunki są równoważne:
a) \(\forall a \in A \forall b \in B (a \leq g(b) \leftrightarrow f(a) \leq b )\)
b) \(\forall a \in A (a \leq g(f(a))) \wedge \forall b \in B (f(g(b)) \leq b)\).
- Podaj przykład takiego przekształcenia monotonicznego f w kracie
\(\langle P(\mathbb{N}), \subseteq \rangle\), że kres górny zbioru \( \{
f^n(\emptyset) \mid n \in \mathbb{N}\} \) nie jest najmniejszym
punktem stałym.
Czy można wybrać f tak, aby punkt stały f nie istniał?
- Niech A będzie częściowym porządkiem zupełnym i niech \(f : A \to
A\) będzie ciągła. Udowodnić, że jeśli \(a \leq f(a)\), to istnieje taki
punkt stały b funkcji f, że \(a \leq b\).
Praca domowa
Zadania 355 i 348 (pytanie o bijekcję tylko dla chętnych).
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz