Ćwiczenia 2: sumy uogólnione, iloczyn uogólnione

Zadania

1. Udowodnić, że \(\bigcup P(A) = A\) dla dowolnego A.
2. a) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcup \mathcal{A} \subseteq \bigcup\mathcal{B}\)?
   b) Czy jeśli \(\bigcup \mathcal{A} \subseteq \bigcup \mathcal{B}\), to \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\)?
3.  a) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{A} \subseteq \bigcap \mathcal{B}\)?
   b) Czy jeśli \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\), to \(\bigcap \mathcal{B} \subseteq \bigcap \mathcal{A}\)?
4. Czy dla dowolnych niepustych A, B takich, że \(A \cap B \neq \emptyset\) zachodzi:
   a) \(\bigcap A \cap\bigcap B = \bigcap (A \cap B)\),
   b) \(\bigcap A \cap\bigcap B = \bigcap (A \cup B)\)?
5. Które z równości zachodzą dla dowolnego A:
   a) \(\bigcap \{P(B) \mid B \subseteq A \} = \{ \bigcap P(B) \mid B \subseteq A \} \),
   b) \(\bigcup \{P(B) \mid B \subseteq A \} = \{ \bigcup P(B) \mid B \subseteq A \} \)?
6. Znaleźć \( \bigcup_{t \in \RR_+} A_t \) i \( \bigcap_{t \in \RR_+} A_t \), gdzie \(A_t = (1-\frac{1}{t}, 2 + \sqrt{t})\) dla \(t \in \RR_+\).

Praca domowa

Zadania 34 i 38 ze zbioru zadań na stronie wykładu.