Ćwiczenia 4: funkcje

Zadania

1.  Pokazać, że funkcja \(\varphi : P(A)^B \to P(A \times B)\), taka że dla dowolnego \(f : B \to  P(A)\) zachodzi
   \[ \varphi(f) = \{ \langle a, b \rangle \in A \times B \mid a \in f(b)\},\]
   jest różnowartościowa i na.
2. Zdefiniujmy funkcję \( F : (\NN \to \NN) \to (P(\NN) \to P(\NN))\) wzorem
   \[ F(f)(X) = f(X).\]
   a) Czy F jest na?
   b) Czy F jest różnowartościowa?
3. Znaleźć przykład takiej funkcji \(f: \NN\to\NN\), że przeciwobraz każdego zbioru jednoelementowego jest
   a) jednoelementowy,
   b) dwuelementowy,
   c) nieskończony.
4. Funkcję \(F : (\NN \to P(\NN)) \to P(\NN)\) jest określona warunkiem
   \[ F(x) = \bigcup \{x(i) \mid i \in \NN\}.\]
   a) Czy F jest różnowartościowa?
   b) Czy F jest na \(P(\NN)\)?
   c) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest jednoelementowy?
   d) Czy istnieje zbiór \(A \subseteq \NN\) taki, że \(F^{-1}(\{A\})\) jest czteroelementowy?

Praca domowa

Zadanie 137 i zadanie 147.